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q—adic范德蒙型矩阵的位移结构与逆公式
列向量的长度为l，并构造一个以a，为其qi-adic坐标列的多项式(这是可以实现的)，那么由引理2知L(a。)一，(H)，即L(a。)是Hi的多项式，故L(a)与Hi可交换，从而L(n)与H可交换．定理5给定分块形式的2个矩阵：G—row(g“’)：一1，g“’一colEg“’]：一l，g∈F；B—col(b)：一，b一row(b)一∈F”，并且设(O)≠0．则位移结构方程{H．．s．}(R)一H一RS一GB(5)有惟一解R一∑L(c㈨)()一1bh0…0bk．，r1bh。．!。．。．0b1…b．，r．1bh(6)其中L(c“’)的定义方式同前，c“’由方程组Hnrow[c“’]：一一G或H；c“’一g“’确定．证注意到H与S的特征多项式分别为(z)和，则由假设(O)≠O知，位移结构方程(5)的解惟一，故只需检验由式(6)给出的R是方程(5)的解即可．将R代人(5)的左边，并利用定理1以及L(c“’)与H一diag(H)：；的可交换性得{．s}(R)一∑L(c‘)EH()一()s]一1LoH7，…，o，]∑L(c“’)J；J，…’o'1]lJbh0b．，r．1bhbl……O‘．0b．,[link widoczny dla zalogowanych]，r．1bhbh0…0bk．，r1bh。．；。．。．0b1…b．，r．1bh{}(R)一k∑=lc。[Eblk~""6h]一k∑=l一GB·定理6设G，B同定理5，并且设(O)≠O，则位移结构方程g—PLIJPL—P一HL研一P研“。HL一HL为有因而又从第2期杨正宏等：q-adic范德蒙型矩阵的位移结构与逆公式157有惟一的解{．s)(R)一HR—RST—GB，R一∑L(c㈨)V()=12…bhb1。．i。．b2…0bk1其中c“由方程H：row[c]：：l或c一H确定．证明与定理5类似，从略．3求逆公式本节给出q—adic范德蒙型矩阵的2个快速求逆公式．对任意次数为z的首一多项式q()一q。+q+…+q卜1-1+,[link widoczny dla zalogowanych]，其对称化子S(g)与C(g)有关系式：C(g)S(g)一S(g)C(g)，S(g)C(g)一C(g)S(g)．(7)对于基本多项式()，我们引入广义翻转矩阵A—diag[A(g)]一1,[link widoczny dla zalogowanych]，A。()一IS(q)，其中J，表示r阶翻转矩阵(．r+一f)，．这里瓯为Kronecker记号．由式(7)不难验证：H△()一△(g)HqT．。，进而有H一△Hj．定理7设R是一个由生成元{G，B)生成的关于．s-)(·)的阶q—adic范德蒙型矩阵，即R满足位移结构方程(H．s．．}(R)一H一RS—GB．(如果R可逆，则有R一1一O…0．·‘120d112…hV()L(c‘D)rA～，(9)其中维列向量C与维行向量d一[d…,[link widoczny dla zalogowanych]，dh]分别由下面2个方程确定：R△～Hrow[c]：：1一B，Rrow[dkT]：：1一G．证在式(两边同时左乘JR_。、右乘R-1后取转置矩阵，并利用H一△Hj及sI‘一S得H(R_T)一R_TS7一(R_TB)(GR)．此式等价于H(ZXR-T)一(ZXR-T)S一(ZXR-TB)(GR-T7)．(10)式(10)表明，AR_TJ与R具有同类型的位移结构和不同的生成元，将定理3应用到矩阵方程(10)，并写出AR_TJ的表达式，便得到R-1的表示式(9)．定理8设R是一个由生成元{G，B)生成的关于(_．sT}(·)的阶q—adic范德蒙型矩阵，即R满足位移结构方程(,[link widoczny dla zalogowanych]，T)(R)一HR—RS：一GB．如果R可逆，则有R一1一巩1舵2……hdh0dh0…0V()L(c‘D)A～，
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